Intrare cont  

           Pagina principală Contact




Fie triunghiul dreptunghic ABC, având cateta AB = 2a√3 și m(∢B) = 30˚. Calculați segmentele determinate de bisectoarea unghiului ∢ B pe cateta AC și tangenta unghiului de 15˚.

Materialul în format docx



matematică, clasa: VII, geometrie
culegere, exerciții și probleme
Titlu: Matematică 7 - partea II
Autori: Anton Negrilă, Maria Negrilă
Editura: Paralela 45, 2015, ediția a 4-a, revizuită
Capitol: Triunghiul dreptunghic
Subcapitol: Noțiuni de trigonometrie
Număr / pagină: 47 / 109


Problema nr. 47 / pag. 109
Matematică cls. VII algebră, geometrie Partea II / semestru 2
Autori: Anton Negrilă, Maria Negrilă
Editura: Paralela 45
An 2015, ediția a 4-a
Geometrie – Capitolul II. Noțiuni de trigonometrie
Test de autoevaluare
Grad de dificultate: 7

Nu copiați rezolvările! Urmați câte un pas și încercați să le rezolvați singuri!

Pasul I (înțelegerea enunțului problemei):
Pasul II (noțiuni necesare):
cos = lungimea catetei alăturate / lungimea ipotenuzei
sin = lungimea catetei opuse / lungimea ipotenuzei
tg = lungimea catetei opuse / lungimea catetei alăturate
- teorema bisectoarei: bisectoarea unui unghi al unui triunghi determină pe latura opusă segmente proporționale cu lungimile laturilor ce formează unghiul.

Pasul III (analiza problemei și reprezentarea matematică - ipoteză, concluzie, desene):

Δ ABC – dreptunghic
AB = 2a√3
m(∢B) = 30˚
BD - bisectoare
----------------|-
AD = ?
DC = ?
tg 15˚ = ?
---------------||-

Pasul IV (rezolvare):

cos 30˚ = AB/BC ⇒ √3/2 = 2a√3/BC ⇒ BC = 4a√3/√3 ⇒ BC = 4a

sin 30˚ = AC/BC ⇒ 1/2 = AC/4a ⇒ AC = 2a

AD/DC = AB/BC
AD/DC = 2a√3/4a ⇒ AD/DC = √3/2 ⇒ AD = DC√3/2

AD + DC = AC ⇒ DC√3/2 + DC = AC ⇒ (DC√3 + 2DC)/2 = 2a ⇒ DC(√3 + 2) = 4a
DC = √3 – 2)4a/(√3 + 2) ⇒ DC = 4a(√3 - 2)/(√32 - 22) ⇒ DC = (4a√3 - 8a)/(3-4) ⇒ DC = 8a – 4a√3

AD + DC = AC ⇒ AD = AC – DC ⇒ AD = 2a – (8a – 4a√3) ⇒ AD = 2a – 8a + 4a√3
AD = 4a√3 – 6a ⇒ AD = 2a√3 (2 – √3)

tg 15˚ = AD/AB ⇒ tg 15˚ = 2a√3(2 – √3)/2a√3 ⇒ tg 15˚ = 2 – √3